Cho tới thời điểm này ta đã có các khái niệm quan trọng trong xác suất như sự kiện, biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất và các đặc trưng của phân phối. Giờ là lúc ta đề cập tới một số phân phối xác suất phổ biến để có thể áp dụng vào thực tế khi quan sát các mô hình xác suất.
Bạn đang xem: Binomial distribution là gì
Mục lục1. Biến rời rạc2. Biến liên tục2.2. Phân phối chuẩn – Normal distribution1. Biến rời rạc
1.1. Phân phối đều – Discrete Uniform distribution
Là phân phối mà xác suất xuất hiện của các sự kiện là như nhau. Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối đều rời rạc $X sim mathcal{Unif}(a, b)$ với tham số $a, b in mathbb Z; a
Thường người ta hay lấy $a=1$ và khi đó phân phối đều của $X$ sẽ được kí hiệu là $X sim mathcal{Unif}(n)$. Lúc đó hàm phân phối xác suất CDF sẽ là: $F(k;n)=dfrac{k}{n}$.
1.2. Phân phối Béc-nu-li – Bernoulli distribution
Như đã đề cập về phép thử Béc-nu-li rằng mọi phép thử của nó chỉ cho 2 kết quả duy nhất là $A$ với xác suất $p$ và $bar A$ với xác suất $q=1-p$. Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối Béc-nu-li $X sim mathcal{Bern}(p)$ với tham số $p in mathbb{R}, 0 le p le 1$ là xác suất xuất hiện của $A$ tại mỗi phép thử thì sẽ có những đặc tính như sau:
| PMF – $p(x)$ | $p^x(1-p)^{1-x} ~~~,x in {0,1}$ |
| CDF – $F(x;p)$ | $begin{cases}0 &text{for } x |
1.3. Phân phối nhị thức – Binomial distribution
Là phân phối của phép thử Béc-nu-li với biến ngẫu nhiên $X$ thể hiện số lần xuất hiện sự kiện $A$. Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức $X sim mathcal{Bin}(n,p)$ với tham số $n in mathbb N$ là số lần xuất hiện của $A$ và $p in mathbb{R}, 0 le p le 1$ là xác suất xuất hiện của $A$ tại mỗi phép thử, ta có:
| PMF – $p(x)$ | $dbinom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} ~~~,x in $ |
| CDF – $F(x;n,p)$ | $displaystylesum_{i=0}^xdbinom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}$ |
| Kỳ vọng – $E |
$np$ |
| Phương sai – $Var(X)$ | $np(1-p)$ |
$dbinom{n}{x}=dfrac{n!}{x!(n-x)!}$ được gọi là hệ số nhị thức và tên của phân phối này cũng xuất phát từ điểm này 🙂
Như vậy ta có thể thấy phép thử Béc-nu-li có thể coi là 1 trường hợp đặc biệt của phân phối nhị thức với $n=1$, nên phân phối Béc-nu-li còn có thể kí hiệu là: $X sim mathcal{Bin}(1,p)$.
1.4. Phân phối đa thức – Multinomial distribution
Là phân phối tổng quát hoá của phân phối nhị thức. Giả sử ta có $n$ phép thử độc lập và mỗi phép thử sẽ cho kết quả thành là một trong số $k$ nhóm với mỗi nhóm có xác suất tương ứng xác định. Khi đó, phân phối đa thức sẽ mô hình hoá phân phối xác suất của số lần thành công của sự kiện. Như vậy, khi $(n=1,k=2)$ ta sẽ có phân phối Béc-nu-li, còn khi $(n>1,k=2)$ ta có phân phối nhị thức.
Giả sử $p_i,text{for }i=overline{1,k}$ là xác suất rơi vào nhóm $i$ tương ứng trong $k$ nhóm, ta có:$$sum_{i=1}^kp_i=1$$
Nếu biến ngẫu nhiên $X_i in {0,1,…,n},text{for }i=overline{1,k}$ thể hiện số lần xuất hiện của sự kiện nhóm $i$, ta có:$$sum_{i=1}^kx_i=n$$
Đặt $X=
| PMF – $p(x)$ | $displaystyledbinom{n}{x}prod_{i=1}^kp_i^{x_i}$ |
| Kỳ vọng – $E |
$np$ |
| Phương sai – $Var(X)$ | $npotimes(1-p)$ |
Trong đó: $dbinom{n}{x}=dfrac{n!}{prod_{i=1}^kx_i!}$ gọi là hệ số đa thức. $otimes$ thể hiện phép nhân phần tử: $Var(X_i)=np_i(1-p_i)$.
Xem thêm: Almond Là Gì – Công Dụng Của Almond Bạn Nên Biết
1.5. Phân phối Poa-xông – Poisson distribution
Là phân phối nhị thức đạt được khi $n$ rất lớn và $p$ rất nhỏ. Đặt $lambda=np$, ta có:$$begin{aligned}p(x)&=dfrac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}cr &=dfrac{n!}{x!(n-x)!}bigg(frac{lambda}{n}bigg)^xbigg(1-frac{lambda}{n}bigg)^{n-x}cr &=dfrac{n!}{n^x(n-x)!}frac{lambda^x}{x!}bigg(1-frac{lambda}{n}bigg)^{n-x}end{aligned}$$
Khi $n$ rất lớn thì $bigg(1-dfrac{lambda}{n}bigg)^x approx 1$, $bigg(1-dfrac{lambda}{n}bigg)^n approx e^{-lambda}$ và $dfrac{n!}{n^x(n-x)!} approx 1$
nên $p(x) approx dfrac{lambda^x}{x!}e^{-lambda}$
Từ đây, khi ta có tham số $lambda$ thì biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối Poa-xông $X sim mathcal{Poi}(lambda)$ sẽ có đặc tính:
| PMF – $p(x)$ | $dfrac{lambda^x}{x!}e^{-lambda}$ |
| CDF – $F(x;lambda)$ | $e^{-lambda}displaystylesum_{i=0}^xdfrac{lambda^i}{i!}$ |
| Kỳ vọng – $E |
$lambda$ |
| Phương sai – $Var(X)$ | $lambda$ |
1.6. Phân phối hình học – Geometric distribution
Là phân phối của xác suất xuất hiện lần đầu tiên của sự kiện $A$ trong phép thử Béc-nu-li. Phân phối hình học được kí hiệu là $X sim mathcal{Geo}(p)$, trong đó tham số $p$ là xác suất xuất hiện của sự kiện $A$ trong mỗi phép thử.
| PMF – $p(x)$ | $p(1-p)^x$ |
| CDF – $F(x;p)$ | $1-(1-p)^{x+1}$ |
| Kỳ vọng – $E |
$dfrac{1-p}{p}$ |
| Phương sai – $Var(X)$ | $dfrac{1-p}{p^2}$ |
1.7. Phân phối nhị thức âm – Negative Binominal distribution
Là phân phối xác suất xuất hiện lần thứ $r$ của sự kiện $A$ trong phép thử Béc-nu-li. Như vậy đây là phân phối tổng quát của phân phối hình học và phân phối hình học là phân phối nhị thức âm với $r=1$. Ta kí hiệu phân phối này là $X sim mathcal{NegBin}(r,p)$ với tham số $r$ là số lần xuất hiện của $A$ cùng với $p$ là xác suất xuất hiện của $A$ trong mỗi phép thử.
| PMF – $p(x)$ | $dbinom{x+r+1}{x}p^r(1-p)^x$ |
| CDF – $F(x;r,p)$ | $p^rdisplaystylesum_{i=0}^xdbinom{x+r+1}{x}(1-p)^x$ |
| Kỳ vọng – $E |
$dfrac{r(1-p)}{p}$ |
| Phương sai – $Var(X)$ | $dfrac{r(1-p)}{p^2}$ |
2. Biến liên tục
2.1. Phân phối đều – Continuous Uniform distribution
Tương tự như đối với trường hợp là biến rời rạc thì với phân phối đều liên tục, bất kì giá trị nào của biến ngẫu nhiên trong miền xác định cũng cho xác suất là như nhau. Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối đều liên tục $X sim mathcal{Unif}(a, b)$ với tham số $a, b in mathbb R; a
2.2. Phân phối chuẩn – Normal distribution
Phân phối chuẩn hay còn được gọi là phân phối Gao-xo (Gauss) là một trong những phân phối quan trọng nhất và được ứng dụng rất rộng rãi trong thực tế. Ở đây ta sẽ khảo sát phân phối chuẩn cho 1 biến ngẫu nhiên hay nói cách khác là biến ngẫu nhiên một chiều và cho cả nhiều biến ngẫu nhiên hay véc-to ngẫu nhiên – biến ngẫu nhiên nhiều chiều.
Xem thêm: Kernel32.Dll Là Gì – Sửa Lỗi Dynamic Link Library Kernel32
2.2.1 Đối với biến 1 chiều (Univariate)
Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối chuẩn $X sim mathcal{N}(mu, sigma^2)$ với tham số kỳ vọng $mu$ và phương sai $sigma^2$, ta sẽ có:
| PDF – $f(x)$ | $dfrac{1}{sqrt{2pisigma^2}}expbigg(-dfrac{(x-mu)^2}{2sigma^2}bigg)$ |
| CDF – $F(x;mu,sigma^2)$ | $dfrac{1}{2}+Phibigg(dfrac{x-mu}{sigma}bigg)$ |
| Kỳ vọng – $E |
$mu$ |
| Phương sai – $Var(X)$ | $sigma^2$ |
$Phibigg(dfrac{x-mu}{sigma}bigg)$ ở đây là 1 phân phối chuẩn đã được tính toán từ trước.
Chuyên mục: Hỏi Đáp
TOP 10+ Máy Lọc Nước Tốt Nhất 2021
Trang chủ
Liên hệ – Quảng cáo
Copyright © 2021 Xây Dựng NND
